Nguyễn Hồng Chi1*
Dương Hoàng Hải Đăng2
Nguyễn Hoàng Triết3
1 Bộ môn Toán, Trường THPT FPT Cần Thơ
(Email: [email protected])
2, 3 Học sinh, Trường THPT FPT Cần Thơ
(Email: [email protected])
(Email: trietnhfct[email protected])
Tóm tắt
Trong bối cảnh hội nhập quốc tế, nền giáo dục đã có sự chuyển mình một cách đầy mạnh mẽ, vì lẽ đó đã giúp toán học thoát khỏi khuôn mẫu của sự khô khan mà theo dấu chân của thời đại không còn đơn thuần chỉ là một môn học với các phép toán khó hiểu, phức tạp và trừu tượng mà hơn cả còn là những tri thức thực tế ứng dụng ngay trong đời sống. Điều này không chỉ nhấn mạnh tầm quan trọng của môn học mà còn khuyến khích học sinh tự tìm hiểu, khám phá và ứng dụng nó vào thực tiễn cuộc sống. Vậy, để làm sáng tỏ mối quan hệ này thì việc tìm hiểu về một mảnh kiến thức gắn với chương trình của học sinh: :”hệ thức lượng trong tam giác” là một việc vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ làm rõ về những khái niệm, công thức thuộc phân môn hình học và từ đó biết cách giải quyết các bài toán thực tế ở hầu hết các lĩnh vực đời sống một cách khách quan và tổng quát nhất, giúp người đọc nhận thức được tính ứng dụng của hệ thức lượng nói riêng và toán học nói chung trong đời sống.
Từ khóa: Hệ thức lượng trong tam giác, Ứng dụng, Bài toán thực tế.
1. GIỚI THIỆU
1.1. Khái niệm bài toán thực tế
Theo Từ điển Tiếng Việt, “Bài toán là vấn đề cần giải quyết bằng phương pháp khoa học” (Hoàng Phê, 2002, Từ điển Tiếng Việt). Do “Toán học là khoa học gắn với thực tiễn, đi từ thực tiễn và trở về phục vụ thực tiễn” (Tạp chí Giáo dục (2022), 22(5), 20-25) bản chất có tính phức tạp, trừu tượng và khái quát cao, không tập trung nghiên cứu về một lĩnh vực riêng lẻ mà hệ thống với nhau tạo nên một thể thống nhất. Bên cạnh đó, quan điểm của triết học Mác – Lênin còn cho thấy: “Thực tiễn là hoạt động có tính mục đích nhằm cải tạo tự nhiên và xã hội phục vụ con người” ( C.Mác và Ph.Ăngghen, Toàn tập, Nxb Chính trị quốc gia, H., 1995, tập 46, phần II, tr.372) có thể hiểu rằng thực tiễn là sự tác động một cách chủ động, tích cực và khách quan liên quan lên các đối tượng hay sự việc cần nghiên cứu nhằm mục đích thỏa mãn nhu cầu của mình và phục vụ đời sống xã hội vì mang lại nhiều lợi ích, nền tảng nghiên cứu và phát triển kỹ năng tư duy logic. Vì vậy, bài toán thực tế là bài toán mà những nhu cầu, vấn đề phát sinh từ trong cuộc sống mỗi cá nhân và xã hội, đòi hỏi cách giải quyết bằng phương pháp khoa học có quan hệ số học, hình học, xác xuất thống kê,…
1.2. Khái niệm hệ thức lượng trong tam giác
Giải tam giác là đi tìm số đo các cạnh và góc chưa biết của một tam giác thông qua một số định lý nổi tiếng trong hình học cổ điển như: định lý côsin, định lý sin, các công thức tính diện tích tam giác. Vì vậy, ta có thể định nghĩa đơn giản hệ thức lượng là hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác, giúp xác định được độ dài của cạnh hoặc độ lớn của góc chưa biết dựa vào những số liệu đã có thông qua phép đo hay liên hệ các công thức khác. Bài toán thực tiễn vận dụng hệ thức lượng trong tam giác là những bài toán đặt ra các vấn đề hình học cần được giải quyết bằng những hệ thức và định lý trong tam giác thông qua các mối liên hệ số học (số liệu cho trước) từ đó tìm ra đại lượng chưa biết và hoàn thành bài toán. Tính vận dụng của hệ thức lượng được thể hiện qua nhiều phương diện thực tế như trong xây dựng, công nghệ, xác định khoảng cách, tọa độ địa lý, độ dài hình học,…
1.3. Hệ thức lượng trong tam giác
1.3.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
1.3.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường
*Định lí côsin
*Định lí sin
*Công thức tính diện tích tam giác
1.3.3. Định lí Ceva và Menelaus
*Định lí Ceva
Điều kiện này cần thiết để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm. Định lý Ceva được sử dụng trong nhiều bài toán hình học liên quan đến tam giác, khi cần xác định sự đồng quy của các đường thẳng như đường phân giác, trung tuyến, đường cao.
*Định lí Menelaus
Định lý Menelaus cũng là một định lý hình học về tam giác, nhưng áp dụng cho tam giác và một đường thẳng cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài của các cạnh) của tam giác.
Trong trường hợp này, ba điểm D, E, F không cần phải đồng quy tại một điểm, nhưng phải nằm trên một đường thẳng.
2. Ứng dụng và lịch sử
2.1. Thiên văn học
Vào khoảng năm 250 TCN, nhà thiên văn học người Hy Lạp Aristarchus đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để ước tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng và Mặt Trời. Ông dựa trên quan sát góc giữa Mặt Trăng và Mặt Trời tại thời điểm nguyệt thực.
Bài toán: Khi Mặt Trăng và Mặt Trời cùng tạo ra một góc 90° với Trái Đất (góc chữ nhật), ông đo góc giữa Mặt Trời, Trái Đất, và Mặt Trăng là khoảng 87°. Dựa vào định lý cosin:
Trong đó, DMT là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng, DTS là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, và R là bán kính Trái Đất. Nhờ vậy, Aristarchus đã ước tính khoảng cách này và mặc dù chưa chính xác hoàn toàn do hạn chế của công cụ đo, đó là một bước đột phá trong việc đo đạc thiên văn học.
(Theo tài liệu: Berggren, J. L., & Sidoli, N. (2007). Aristarchus’s On the Sizes and Distances of the Sun and the Moon: Greek and Arabic Texts. Archive for History of Exact Sciences, 61(3), 213–254. http://www.jstor.org/stable/41134255).
2.2. Kiến trúc và xây dựng
2.2.1. Đo đạc chiều cao của kim tự tháp Giza
Một trong những ví dụ cổ điển là việc đo chiều cao của kim tự tháp Giza (Ai Cập). Nhà toán học Thales vào khoảng năm 600 TCN đã sử dụng tam giác lượng giác để xác định chiều cao của kim tự tháp mà không cần phải leo lên nó.
Bài toán: Thales đứng ở một khoảng cách xác định so với kim tự tháp, rồi đo chiều dài bóng của nó. Đồng thời, ông đo chiều dài bóng của mình và chiều cao của chính mình. Sau đó, ông dùng định lý tỷ lệ góc để tính chiều cao kim tự tháp:
Trong đó, Hthales và Lthales là chiều cao và bóng của Thales, còn Hpyramid và Lpyramid là chiều cao và bóng của kim tự tháp.
Thales đã sử dụng tỷ lệ này để ước tính chính xác chiều cao của công trình, đặt nền tảng cho nhiều ứng dụng sau này trong đo đạc và khảo cổ học.
(Theo tài liệu :Kerner, R. (2017). The Thales experiment. arXiv preprint arXiv:1712.06016.)
2.2.2. Xây dựng đài thiên văn Jantar Mantar – Ấn Độ
Jantar Mantar là một trong những đài thiên văn lớn nhất và cổ nhất tại Jaipur, Ấn Độ, được xây dựng vào thế kỷ 18 bởi Maharaja Jai Singh II. Các cấu trúc trong đài thiên văn đều dựa trên hình học và tam giác học để đo các vị trí của thiên thể.
Bài toán: Các nhà thiên văn học tại đây đã sử dụng tam giác học để xác định vị trí của các hành tinh và các ngôi sao dựa trên góc giữa các vật thể. Hệ thức lượng trong tam giác, đặc biệt là định lý sin và cosin, được sử dụng để tính toán chính xác các góc và khoảng cách giữa các ngôi sao. Đây là một bước tiến lớn trong thiên văn học cổ đại của Ấn Độ.
(Theo tài liệu: MacDougall, B. G. (1996). Jantar Mantar: architecture, astronomy, and solar Kingship in princely India.)
2.2.3. Phân tích tam giác cầu – Đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất
Eratosthenes (276-194 TCN), nhà toán học và thiên văn học Hy Lạp, đã sử dụng hình học tam giác cầu để đo chu vi Trái Đất.
Bài toán: Ông biết rằng vào buổi trưa ngày hạ chí tại Syene (nay là Aswan, Ai Cập), Mặt Trời chiếu thẳng xuống mặt đất và không tạo bóng. Trong khi đó, ở Alexandria (cách Syene một khoảng), Mặt Trời tạo bóng với một góc nhất định. Bằng cách đo góc của bóng và khoảng cách giữa Syene và Alexandria, Eratosthenes đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính chu vi Trái Đất.
Công thức được áp dụng ở đây là: 
Trong đó d là khoảng cách giữa Syene và Alexandria, C là chu vi Trái Đất, và θ là góc giữa hai địa điểm. Ông đã tính toán ra chu vi Trái Đất rất chính xác, chỉ sai lệch chút ít so với con số hiện đại.
(Theo Sách giáo khoa lớp 9 tập 1 cũ – bài 43 trang 96)
2.2.4 Đo đạc chiều cao của trụ cầu Cần Thơ
Bài toán: tính chiều cao của trụ cầu Cần Thơ so với mặt sông Hậu, cho biết tại hai điểm cách nhau 89m trên mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt là 40o và 30o độ.
3. Kết luận
Hệ thức lượng trong tam giác không chỉ là một phần của toán học lý thuyết mà còn đóng vai trò quan trọng trong rất nhiều ứng dụng thực tế, từ thiên văn học, kỹ thuật, địa chất đến các lĩnh vực như quân sự, khảo cổ,…. Qua các bài toán cụ thể từ lịch sử, chúng ta thấy được rằng các định lý như sin, cosin hay hệ thức lượng tam giác hóa đã giúp nhân loại giải quyết những vấn đề phức tạp và đôi khi có tính sống còn. Những ví dụ như xác định khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng, định vị tàu ngầm trong chiến tranh, đo chu vi Trái Đất của Eratosthenes hay cứu hộ các thợ mỏ tại Chile đều minh chứng cho sự ứng dụng sâu rộng và thiết yếu của hệ thức lượng. Điều này cho thấy, toán học không chỉ là công cụ lý thuyết mà còn là “chìa khóa” mở ra các khám phá và giải pháp thực tế, giúp loài người tiến bộ qua từng thời kỳ.
4 Lời cảm tạ
Nhân đây, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý độc giả, những người đã dành thời gian quý báu để quan tâm, đọc và đánh giá bài nghiên cứu này. Sự chú ý và ủng hộ của quý vị là nguồn động viên lớn lao đối với chúng tôi trong quá trình thực hiện và hoàn thiện bài báo.
Đồng thời, chúng tôi muốn gửi lời tri ân chân thành đến những người đã đồng hành và đóng góp quan trọng vào bài nghiên cứu. Trước hết, xin cảm ơn cô Nguyễn Hồng Chi, người không chỉ hướng dẫn tận tình mà còn luôn khích lệ, định hướng cho chúng tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình nghiên cứu và thực hiện, đã truyền nguồn cảm hứng lớn lao, giúp chúng tôi hiểu sâu sắc hơn về ý nghĩa và ứng dụng thực tế của hệ thức lượng. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cảm ơn bạn Dương Hoàng Hải Đăng và Nguyễn Hoàng Triết – những tác giả, người phụ trách chính đã luôn chia sẻ ý tưởng, đóng góp ý kiến và không ngừng nỗ lực để bài nghiên cứu đạt chất lượng tốt nhất. Sự gắn kết và tinh thần làm việc nhóm giữa các thành viên đã tạo nên một hành trình học tập và làm việc đầy ý nghĩa.
Hy vọng rằng bài báo sẽ mang lại giá trị hữu ích và khơi nguồn cảm hứng cho các bạn độc giả trên hành trình tìm hiểu và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018). Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.
(https://moet.gov.vn/tintuc/Pages/tin-hoat-dong-cua-bo.aspx?ItemID=5755)
[2] Russell, John Wellesley (1905). “Ch. 1 §7 Ceva’s Theorem”. Pure Geometry. Clarendon Press.
[3] Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). “Ceva, Menelaus and the Area Principle”. Mathematics Magazine. 68 (4):254268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569Bản mẫu:Inconsistent citations.
[4] Berggren, J. L., & Sidoli, N. (2007). Aristarchus’s On the Sizes and Distances of the Sun and the Moon: Greek and Arabic Texts. Archive for History of Exact Sciences, 61(3), 213–254. http://www.jstor.org/stable/41134255
[5] Kerner, R. (2017). The Thales experiment. arXiv preprint arXiv:1712.06016
[6] MacDougall, B. G. (1996). Jantar Mantar: architecture, astronomy, and solar Kingship in princely India [7] MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC” (TOÁN 10) – Tạp chí Giáo dục (2024), 24(9), 25-29 https://tcgd.tapchigiaoduc.edu.vn/index.php/tapchi/article/view/1756/785